حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

خطوة 6

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$