حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

خطوة 1

عيّن المعادلة الوسطية لـ $x (t)$ لإيجاد قيمة $t$ في المعادلة.

$x = 5 \cos (t)$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 \cos (t) = x$ .

$5 \cos (t) = x$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $5 \cos (t) = x$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $5 \cos (t) = x$ على $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $\cos (t)$ على $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

خطوة 4

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

خطوة 5

استبدِل $t$ في المعادلة بـ $y$ للحصول على المعادلة من حيث $x$ .

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

خطوة 6

احذِف الأقواس.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

خطوة 7

بسّط $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ و $(\frac{x}{5}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arccos (\frac{x}{5})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . إذن، $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ تساوي $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

خطوة 7.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

خطوة 7.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

خطوة 7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

خطوة 7.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

خطوة 7.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

خطوة 7.3.5

اضرب $\frac{5 + x}{5}$ في $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

خطوة 7.3.6

اضرب $5$ في $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ بالصيغة ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(5 + x) (5 - x)$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

خطوة 7.4.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $5^{2}$ من $25$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

خطوة 7.4.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

خطوة 7.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

خطوة 7.6

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

خطوة 7.7

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

خطوة 7.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$