حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب ${(x^{2} - 1)}^{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 2.11.2

اضرب $6$ في $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 2.11.3

أخرِج العامل $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ من $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

أخرِج العامل $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ من $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 2.11.3.2

أخرِج العامل $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ من $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.3.3

أخرِج العامل $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ من $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.4

أضف $6 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.5

أعِد كتابة ${(x^{2} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.6

وسّع $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.7.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.7.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.1.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.1.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.7.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.9.1

اضرب $- 2$ في $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.9.2

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

خطوة 2.11.10

وسّع $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.2

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.11.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.2.3

أضف $2$ و $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.3

اضرب $8$ في $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.4

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.6

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.11.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.6.3

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.7

اضرب $- 16$ في $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.8

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.9

اضرب $7$ في $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

خطوة 2.11.11.10

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

خطوة 2.11.12

اطرح $112 x^{4}$ من $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

خطوة 2.11.13

أضف $16 x^{2}$ و $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 4.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

خطوة 4.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

خطوة 4.1.2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة العبارة ${(x^{2} - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة ${(x^{2} - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x + 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x + 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 5.4.2.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5.4.2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 5.4.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 5.4.2.4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.4.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 5.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

خطوة 9.1.2

اضرب $56$ في $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

خطوة 9.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 120$ في $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

خطوة 9.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

خطوة 9.1.6

اضرب $72$ في $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

خطوة 9.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 0 - 8$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0 - 8$

خطوة 9.2.3

اطرح $8$ من $0$ .

$- 8$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

خطوة 11.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

خطوة 11.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (0) = 1$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

خطوة 13.1.2

اضرب $56$ في $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

خطوة 13.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

خطوة 13.1.4

اضرب $- 120$ في $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

خطوة 13.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

خطوة 13.1.6

اضرب $72$ في $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

خطوة 13.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اطرح $120$ من $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

خطوة 13.2.2

أضف $- 64$ و $72$ .

$8 - 8$

خطوة 13.2.3

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الأول $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

اضرب $8$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.2.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

خطوة 14.2.2.3

اطرح $1$ من $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

خطوة 14.2.2.4

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

خطوة 14.2.2.5

اضرب $- 32$ في $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

خطوة 14.2.2.6

الإجابة النهائية هي $- 108000$ .

$- 108000$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 0.5$ ، من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الأول $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5$ في العبارة.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

اضرب $8$ في $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.3.2.2

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

خطوة 14.3.2.3

اطرح $1$ من $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

خطوة 14.3.2.4

ارفع $- 0.75$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

خطوة 14.3.2.5

اضرب $- 4$ في $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

خطوة 14.3.2.6

الإجابة النهائية هي $1.6875$ .

$1.6875$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $0.5$ ، من الفترة $(0, 1)$ في المشتق الأول $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.5$ في العبارة.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

اضرب $8$ في $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.4.2.2

ارفع $0.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

خطوة 14.4.2.3

اطرح $1$ من $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

خطوة 14.4.2.4

ارفع $- 0.75$ إلى القوة $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

خطوة 14.4.2.5

اضرب $4$ في $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

خطوة 14.4.2.6

الإجابة النهائية هي $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

خطوة 14.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الأول $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

اضرب $8$ في $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 14.5.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

خطوة 14.5.2.3

اطرح $1$ من $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

خطوة 14.5.2.4

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

خطوة 14.5.2.5

اضرب $32$ في $3375$ .

$f' (4) = 108000$

خطوة 14.5.2.6

الإجابة النهائية هي $108000$ .

$108000$

خطوة 14.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - 1$ ، إذن $x = - 1$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 1$ ، إذن $x = 1$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15