حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 2.4.2.2

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 2.4.2.3

اطرح $e^{x} \sin (x)$ من $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

خطوة 2.4.2.4

أضف $- e^{x} \cos (x)$ و $\cos (x) e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

خطوة 2.4.2.4.2

أضف $- e^{x} \cos (x)$ و $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

خطوة 2.4.2.5

أضف $- 2 e^{x} \sin (x)$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

خطوة 4

حلّل $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 6.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 6.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $- \sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $- \sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.2

افصِل الكسور.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.6

افصِل الكسور.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 7.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 7.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

خطوة 7.2.10

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 7.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 7.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 7.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.14

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 7.2.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 7.2.15.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 7.2.16

حل المعادلة $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

خطوة 11

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 12.2.2

اجمع $e^{\frac{π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 14.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

خطوة 14.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

خطوة 14.4.2

اضرب $e^{\frac{5 π}{4}}$ في $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

خطوة 15

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

خطوة 16.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 16.2.3

اجمع $e^{\frac{5 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 16.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 18