حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $7$ في $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $2$ من $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 2 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

خطوة 2.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

خطوة 2.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{2}{x}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $7$ في $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

خطوة 4.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

خطوة 4.1.4.2.2

اطرح $2$ من $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \ln (x) = - 5$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (x) = - 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (x) = - 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = \frac{5}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

خطوة 5.6

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = e^{\frac{5}{2}}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $e^{\frac{5}{2}}$ في العبارة.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{5}{2}$ خارج الأُس.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 10.2.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

خطوة 10.2.1.3

اضرب $\frac{5}{2}$ في $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

خطوة 10.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

خطوة 10.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

خطوة 10.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

خطوة 10.2.1.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 10.2.2

اطرح $5 e^{\frac{5}{2}}$ من $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 10.2.3

الإجابة النهائية هي $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

خطوة 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 12