حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

خطوة 2.3

اطرح $\sin (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$1 + \cos (x) = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 1$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 7

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 8

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 9

حل المعادلة $x = π$ .

$x = π, π$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin (π)$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \sin (0)$

خطوة 11.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 0$

خطوة 11.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0$

خطوة 12

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

خطوة 12.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, π)$ في المشتق الأول $1 + \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

خطوة 12.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

خطوة 12.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (0) = 2$

خطوة 12.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 12.3

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(π, \infty)$ في المشتق الأول $1 + \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

خطوة 12.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

احسِب قيمة $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

خطوة 12.3.2.2

أضف $1$ و $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

خطوة 12.3.2.3

الإجابة النهائية هي $1.96017028$ .

$1.96017028$

خطوة 12.4

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = π$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 12.5

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = x + \sin (x)$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 13