حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.4.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.4.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 3.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 5

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 6

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

خطوة 7

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 8.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 8.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 8.2.5

حل المعادلة $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 1$

خطوة 9.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 9.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 9.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9.2.6

حل المعادلة $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

خطوة 12.1.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 - 2$

خطوة 12.2

اطرح $2$ من $- 2$ .

$- 4$

خطوة 13

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

خطوة 14.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

خطوة 14.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

خطوة 14.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

خطوة 14.2.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

خطوة 14.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

خطوة 14.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.3

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.5

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 16.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.1.8

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

خطوة 16.1.8.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- 2 + 2$

خطوة 16.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 17

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

خطوة 17.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

خطوة 17.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1.1

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

خطوة 17.2.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

خطوة 17.2.2.1.3

احسِب قيمة $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

خطوة 17.2.2.1.4

اضرب $2$ في $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

خطوة 17.2.2.2

اطرح $1.30728724$ من $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

خطوة 17.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

خطوة 17.3

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

خطوة 17.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

خطوة 17.3.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

خطوة 17.3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

خطوة 17.3.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

خطوة 17.3.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f' (0) = 2$

خطوة 17.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 17.4

عوّض بأي عدد، مثل $3$ ، من الفترة $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ في المشتق الأول $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

خطوة 17.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.2.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

خطوة 17.4.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

خطوة 17.4.2.1.3

احسِب قيمة $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

خطوة 17.4.2.1.4

اضرب $2$ في $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

خطوة 17.4.2.2

اطرح $1.97998499$ من $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

خطوة 17.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

خطوة 17.5

عوّض بأي عدد، مثل $7$ ، من الفترة $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ في المشتق الأول $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

خطوة 17.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.2.1.1

اضرب $2$ في $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

خطوة 17.5.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

خطوة 17.5.2.1.3

احسِب قيمة $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

خطوة 17.5.2.1.4

اضرب $2$ في $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

خطوة 17.5.2.2

أضف $0.99060735$ و $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

خطوة 17.5.2.3

الإجابة النهائية هي $2.49841186$ .

$2.49841186$

خطوة 17.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - \frac{π}{2}$ ، إذن $x = - \frac{π}{2}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 17.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{π}{2}$ ، إذن $x = \frac{π}{2}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 17.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{3 π}{2}$ ، إذن $x = \frac{3 π}{2}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 17.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = - \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18