حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{- 4}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $x^{- 4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.3.2

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.4

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.4.2

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.6.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.6.2.4

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.6.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.5

اجمع $x^{5}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.6.2.5

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.8

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $5$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.9

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

اضرب في $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.9.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.9.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.11

اجمع $- 4$ و $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

خطوة 2.3.4

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

خطوة 2.3.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

خطوة 2.3.6

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

انقُل $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

خطوة 2.3.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

خطوة 2.3.6.3

اطرح $10$ من $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3.2

اضرب $- 5$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3.3

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

خطوة 2.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1.1

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

خطوة 2.4.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

خطوة 2.4.5.1.3

أعِد كتابة $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ بالصيغة $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

خطوة 2.4.5.2

أضف $5$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

خطوة 2.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اجمع $x^{- 4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.3.2

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.4

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.4.2

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 4.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.1.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.1.6.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.1.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.1.6.2.4

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.1.6.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

خطوة 5.2

اطرح $\frac{1}{x^{5}}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 5.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$- 4 \ln (x) = - 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $- 4 \ln (x) = - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $- 4 \ln (x) = - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

خطوة 5.5

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $\ln (x) = \frac{1}{4}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{5} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[5]{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\sqrt[5]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 6.3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = e^{\frac{1}{4}}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{1}{4}$ خارج الأُس.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.1.5

اطرح $5$ من $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

خطوة 9.2

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

خطوة 9.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

خطوة 9.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

خطوة 9.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

خطوة 9.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $e^{\frac{1}{4}}$ في العبارة.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

خطوة 11.2.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{1}{4}$ خارج الأُس.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

خطوة 11.2.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

خطوة 11.2.5

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 11.2.6

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

خطوة 11.2.7

انقُل $4$ إلى يسار $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

خطوة 11.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13