إدخال مسألة...
حساب التفاضل والتكامل الأمثلة
خطوة 1
خطوة 1.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 1.2
احسِب قيمة .
خطوة 1.2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.2.3
اضرب في .
خطوة 1.3
احسِب قيمة .
خطوة 1.3.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 1.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 1.3.3
لكتابة على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في .
خطوة 1.3.4
اجمع و.
خطوة 1.3.5
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 1.3.6
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 1.3.6.1
اضرب في .
خطوة 1.3.6.2
اطرح من .
خطوة 1.3.7
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 1.3.8
اجمع و.
خطوة 1.3.9
اجمع و.
خطوة 1.3.10
انقُل إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة .
خطوة 1.3.11
أخرِج العامل من .
خطوة 1.3.12
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 1.3.12.1
أخرِج العامل من .
خطوة 1.3.12.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 1.3.12.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 1.3.13
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 2
خطوة 2.1
أوجِد المشتقة.
خطوة 2.1.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.1.2
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 2.2
احسِب قيمة .
خطوة 2.2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 2.2.2
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 2.2.3
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن هو حيث و.
خطوة 2.2.3.1
لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة لتصبح .
خطوة 2.2.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.2.3.3
استبدِل كافة حالات حدوث بـ .
خطوة 2.2.4
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 2.2.5
اضرب الأُسس في .
خطوة 2.2.5.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 2.2.5.2
اضرب .
خطوة 2.2.5.2.1
اجمع و.
خطوة 2.2.5.2.2
اضرب في .
خطوة 2.2.5.3
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 2.2.6
لكتابة على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في .
خطوة 2.2.7
اجمع و.
خطوة 2.2.8
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 2.2.9
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 2.2.9.1
اضرب في .
خطوة 2.2.9.2
اطرح من .
خطوة 2.2.10
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 2.2.11
اجمع و.
خطوة 2.2.12
اجمع و.
خطوة 2.2.13
اضرب في بجمع الأُسس.
خطوة 2.2.13.1
انقُل .
خطوة 2.2.13.2
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 2.2.13.3
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 2.2.13.4
اطرح من .
خطوة 2.2.13.5
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 2.2.14
انقُل إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة .
خطوة 2.2.15
اضرب في .
خطوة 2.2.16
اجمع و.
خطوة 2.2.17
اضرب في .
خطوة 2.2.18
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.19
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 2.2.19.1
أخرِج العامل من .
خطوة 2.2.19.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 2.2.19.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 2.3
أضف و.
خطوة 3
لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ وأوجِد الحل.
خطوة 4
خطوة 4.1
أوجِد المشتق الأول.
خطوة 4.1.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 4.1.2
احسِب قيمة .
خطوة 4.1.2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 4.1.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 4.1.2.3
اضرب في .
خطوة 4.1.3
احسِب قيمة .
خطوة 4.1.3.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 4.1.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 4.1.3.3
لكتابة على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في .
خطوة 4.1.3.4
اجمع و.
خطوة 4.1.3.5
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 4.1.3.6
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 4.1.3.6.1
اضرب في .
خطوة 4.1.3.6.2
اطرح من .
خطوة 4.1.3.7
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 4.1.3.8
اجمع و.
خطوة 4.1.3.9
اجمع و.
خطوة 4.1.3.10
انقُل إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة .
خطوة 4.1.3.11
أخرِج العامل من .
خطوة 4.1.3.12
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 4.1.3.12.1
أخرِج العامل من .
خطوة 4.1.3.12.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 4.1.3.12.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 4.1.3.13
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 4.2
المشتق الأول لـ بالنسبة إلى هو .
خطوة 5
خطوة 5.1
عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ .
خطوة 5.2
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 5.3
أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.
خطوة 5.3.1
يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.
خطوة 5.3.2
المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.
خطوة 5.4
اضرب كل حد في في لحذف الكسور.
خطوة 5.4.1
اضرب كل حد في في .
خطوة 5.4.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 5.4.2.1
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 5.4.2.1.1
انقُل السالب الرئيسي في إلى بسط الكسر.
خطوة 5.4.2.1.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 5.4.2.1.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 5.5
أوجِد حل المعادلة.
خطوة 5.5.1
أعِد كتابة المعادلة في صورة .
خطوة 5.5.2
اقسِم كل حد في على وبسّط.
خطوة 5.5.2.1
اقسِم كل حد في على .
خطوة 5.5.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 5.5.2.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 5.5.2.2.2
اقسِم على .
خطوة 5.5.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 5.5.2.3.1
اقسِم على .
خطوة 5.5.3
ارفع كل متعادل إلى القوة لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.
خطوة 5.5.4
بسّط الأُس.
خطوة 5.5.4.1
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 5.5.4.1.1
بسّط .
خطوة 5.5.4.1.1.1
اضرب الأُسس في .
خطوة 5.5.4.1.1.1.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 5.5.4.1.1.1.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 5.5.4.1.1.1.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 5.5.4.1.1.1.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 5.5.4.1.1.1.3
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 5.5.4.1.1.1.3.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 5.5.4.1.1.1.3.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 5.5.4.1.1.2
بسّط.
خطوة 5.5.4.2
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 5.5.4.2.1
بسّط .
خطوة 5.5.4.2.1.1
بسّط العبارة.
خطوة 5.5.4.2.1.1.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 5.5.4.2.1.1.2
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 5.5.4.2.1.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 5.5.4.2.1.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 5.5.4.2.1.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 5.5.4.2.1.3
ارفع إلى القوة .
خطوة 5.5.5
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
خطوة 5.5.5.1
أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ لإيجاد الحل الأول.
خطوة 5.5.5.2
بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ لإيجاد الحل الثاني.
خطوة 5.5.5.3
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
خطوة 6
خطوة 6.1
طبّق القاعدة لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.
خطوة 6.2
عيّن قيمة القاسم في بحيث تصبح مساوية لـ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.
خطوة 6.3
أوجِد قيمة .
خطوة 6.3.1
لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.
خطوة 6.3.2
بسّط كل متعادل.
خطوة 6.3.2.1
استخدِم لكتابة في صورة .
خطوة 6.3.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 6.3.2.2.1
اضرب الأُسس في .
خطوة 6.3.2.2.1.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 6.3.2.2.1.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 6.3.2.2.1.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 6.3.2.2.1.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 6.3.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 6.3.2.3.1
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 6.3.3
أوجِد قيمة .
خطوة 6.3.3.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
خطوة 6.3.3.2
بسّط .
خطوة 6.3.3.2.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 6.3.3.2.2
أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.
خطوة 6.3.3.2.3
زائد أو ناقص يساوي .
خطوة 7
النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.
خطوة 8
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 9
خطوة 9.1
انقُل إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة .
خطوة 9.2
اضرب في بجمع الأُسس.
خطوة 9.2.1
استخدِم قاعدة القوة لتجميع الأُسس.
خطوة 9.2.2
لكتابة على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في .
خطوة 9.2.3
اجمع و.
خطوة 9.2.4
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 9.2.5
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 9.2.5.1
اضرب في .
خطوة 9.2.5.2
اطرح من .
خطوة 9.3
بسّط القاسم.
خطوة 9.3.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 9.3.2
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 9.3.3
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 9.3.3.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 9.3.3.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 9.3.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 10
هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.
هي حد أدنى محلي
خطوة 11
خطوة 11.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 11.2
بسّط النتيجة.
خطوة 11.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 11.2.1.1
اضرب في .
خطوة 11.2.1.2
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 11.2.1.3
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 11.2.1.4
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 11.2.1.4.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 11.2.1.4.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 11.2.1.5
احسِب قيمة الأُس.
خطوة 11.2.1.6
اضرب في .
خطوة 11.2.2
اطرح من .
خطوة 11.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 12
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 13
خطوة 13.1
بسّط القاسم.
خطوة 13.1.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 13.1.2
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 13.1.3
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 13.1.3.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 13.1.3.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 13.1.4
ارفع إلى القوة .
خطوة 13.2
اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.
خطوة 13.2.1
احذِف العامل المشترك لـ و.
خطوة 13.2.1.1
أخرِج العامل من .
خطوة 13.2.1.2
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 13.2.1.2.1
أخرِج العامل من .
خطوة 13.2.1.2.2
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 13.2.1.2.3
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 13.2.2
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 14
هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.
هي حد أقصى محلي
خطوة 15
خطوة 15.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 15.2
بسّط النتيجة.
خطوة 15.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 15.2.1.1
اضرب في .
خطوة 15.2.1.2
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 15.2.1.3
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 15.2.1.4
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 15.2.1.4.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 15.2.1.4.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 15.2.1.5
احسِب قيمة الأُس.
خطوة 15.2.1.6
اضرب في .
خطوة 15.2.2
أضف و.
خطوة 15.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 16
احسِب قيمة المشتق الثاني في . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.
خطوة 17
خطوة 17.1
بسّط العبارة.
خطوة 17.1.1
أعِد كتابة بالصيغة .
خطوة 17.1.2
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، .
خطوة 17.2
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 17.2.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 17.2.2
أعِد كتابة العبارة.
خطوة 17.3
ينتج عن رفع إلى أي قوة موجبة.
خطوة 17.4
تتضمن العبارة قسمة على . العبارة غير معرّفة.
غير معرّف
غير معرّف
خطوة 18
خطوة 18.1
قسّم إلى فترات منفصلة حول قيم التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ أو غير معرّف.
خطوة 18.2
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 18.2.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 18.2.2
الإجابة النهائية هي .
خطوة 18.3
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 18.3.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 18.3.2
الإجابة النهائية هي .
خطوة 18.4
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 18.4.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 18.4.2
بسّط النتيجة.
خطوة 18.4.2.1
احذِف الأقواس.
خطوة 18.4.2.2
الإجابة النهائية هي .
خطوة 18.5
عوّض بأي عدد، مثل ، من الفترة في المشتق الأول للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.
خطوة 18.5.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 18.5.2
بسّط النتيجة.
خطوة 18.5.2.1
احذِف الأقواس.
خطوة 18.5.2.2
الإجابة النهائية هي .
خطوة 18.6
بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول ، إذن تمثل حدًا أقصى محليًا.
هي حد أقصى محلي
خطوة 18.7
بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.
لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا
خطوة 18.8
بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول ، إذن تمثل حدًا أدنى محليًا.
هي حد أدنى محلي
خطوة 18.9
هذه هي القيم القصوى المحلية لـ .
هي حد أقصى محلي
هي حد أدنى محلي
هي حد أقصى محلي
هي حد أدنى محلي
خطوة 19