حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ بنقل $\cot (x)$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (1 + x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (1 + x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $1$ .

$1$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\cot (x) \ln (1 + x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\cot (x) \ln (1 + x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $1$ .

$e^{1}$

خطوة 9

بسّط.

$e$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e$

الصيغة العشرية:

$2.71828182 \dots$