حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ بالصيغة $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

خطوة 1.2

وسّع $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

ارفع $\tan (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.1.2

ارفع $\tan (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

أعِد ترتيب $\tan (2 x)$ و $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.2.2

أعِد كتابة $\tan (2 x) \cot (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.3

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

أعِد كتابة $\cot (2 x) \tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

ارفع $\cot (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.4.2

ارفع $\cot (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

خطوة 1.3.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 1.3.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 4

اجمع $\tan^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 9

بما أن مشتق $\tan (u_{1})$ هو $\sec^{2} (u_{1})$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u_{1})$ هو $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = 2 x$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 12

اجمع $\cot^{2} (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (u_{2})$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 15

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 16

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 17

بما أن مشتق $- \cot (u_{2})$ هو $\csc^{2} (u_{2})$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u_{2})$ هو $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

خطوة 18.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

لكتابة $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 18.2.2

اجمع $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 18.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 18.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

خطوة 18.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

خطوة 18.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

خطوة 18.2.6

اضرب $- u_{2} - \cot (u_{2})$ في $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

خطوة 19

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

خطوة 19.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

اختزِل العبارة $\frac{2 x}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 20.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 20.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 20.3

أضف $- x$ و $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 20.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

خطوة 21

أعِد ترتيب الحدود.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$