حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{\frac{7}{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . إذن $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.4.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 1.1.4.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 1.1.4.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{7}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {({u_{2}}^{\frac{7}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $\frac{7}{2}$ و $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{7 \cdot - 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{- 7}{2}} d u_{2}$

خطوة 2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int {u_{2}}^{- \frac{7}{2}} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{7}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}} + C$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $- \frac{2}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{2}} + C$ بالصيغة $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}}}$ في $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{{u_{2}}^{\frac{5}{2}} \cdot 5} + C$

خطوة 4.2.2

انقُل $5$ إلى يسار ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{5 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{5 {(e^{x} + e^{- x})}^{\frac{5}{2}}} + C$