حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 5

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

خطوة 10

اطرح $1 x$ من $- 1 x$ .

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

خطوة 11

اقسِم $x^{2} - 2 x + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 11.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

خطوة 11.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 11.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 11.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

خطوة 11.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

خطوة 11.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

خطوة 11.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

خطوة 11.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

خطوة 11.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

خطوة 11.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 14

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 15

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

خطوة 16

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$