حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\sin^{3} (x)$ من $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

خطوة 1.3

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

خطوة 1.4

حوّل من $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ إلى $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

خطوة 1.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

خطوة 2

اكتب $\cot^{3} (x)$ على هيئة $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \csc (x)$ . إذن $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \csc (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

خطوة 4.1.3

أعِد ترتيب عوامل $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

خطوة 5

اضرب $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$u + C + \int - u^{2} d u$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$u + C - \int u^{2} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 11

بسّط.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$