حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{3} (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cot (x)$ . إذن $d u = - \csc^{2} (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cot (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $u^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 6.1.2

انقُل $u^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

خطوة 6.2

بسّط.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{1}{2 u^{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cot (x)$ .

$\frac{1}{2 \cot^{2} (x)} + C$