حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

خطوة 1

اجمع ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ و $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + \frac{1}{t}$ . إذن $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ ، لذا $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + \frac{1}{t}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{t}$ بالصيغة $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

خطوة 2.1.4.2

اطرح $\frac{1}{t^{2}}$ من $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

خطوة 5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$