حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.4.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

خطوة 1.4.5

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

خطوة 1.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

خطوة 1.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.2

$f'' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.8

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.2.9

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \cdot 3)$

خطوة 2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (3 \cdot e^{3 x})$

خطوة 2.3.7

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 6 e^{3 x}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $3$ في $6$ .

$f'' (x) = 18 (x (e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

خطوة 2.4.2.2

أضف $6 e^{3 x}$ و $6 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (18 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.2

$f''' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.8

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.2.9

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 3.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \cdot 3)$

خطوة 3.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (3 \cdot e^{3 x})$

خطوة 3.3.7

اضرب $3$ في $12$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 36 e^{3 x}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $3$ في $18$ .

$f''' (x) = 54 (x (e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

خطوة 3.4.2.2

أضف $18 e^{3 x}$ و $36 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = 54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (54 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $54$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $54 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $54 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.2

$f^{4} (x) = 54 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.8

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.2.9

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $54$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $54 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $54 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

خطوة 4.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

خطوة 4.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \cdot 3)$

خطوة 4.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (3 \cdot e^{3 x})$

خطوة 4.3.7

اضرب $3$ في $54$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 162 e^{3 x}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

خطوة 4.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اضرب $3$ في $54$ .

$f^{4} (x) = 162 (x (e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

خطوة 4.4.2.2

أضف $54 e^{3 x}$ و $162 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

خطوة 4.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{4} (x) = 162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$

خطوة 4.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$ .

$162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$