حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 7 x^{2} - 1$ و $g (x) = 2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

خطوة 1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.9

اضرب $2$ في $7$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.2.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

خطوة 1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أضف $14 x$ و $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

خطوة 1.2.11.2

انقُل $14$ إلى يسار $2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $6$ في $7$ .

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.4

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.6

أضف $- 6 x^{2}$ و $7 x^{2}$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.7

اضرب $2$ في $14$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.10

أضف $1$ و $3$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

خطوة 1.3.6.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

خطوة 1.3.6.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

خطوة 1.3.6.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

خطوة 1.3.6.14

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

خطوة 1.3.6.15

أضف $42 x^{4}$ و $28 x^{4}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

خطوة 1.3.6.16

أضف $x^{2}$ و $14 x^{2}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $70 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $70$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $15$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $280 x^{3} + 30 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $280 x^{3} + 30 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $280$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $280 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $280$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $30 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $30$ في $1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $840 x^{2} + 30$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $840$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $840 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $840$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $30$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $1680 x$ و $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x$