حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{- x} + e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 2.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 2.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

خطوة 2.3.9

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 3.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 3.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 4.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 4.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 4.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

خطوة 4.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

خطوة 4.3.9

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$