حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

خطوة 1.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

خطوة 1.1.1.5

اضرب $x$ في $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

خطوة 1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.1.2

اقسِم $A (1 - x)$ على $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

خطوة 1.1.6.5.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

خطوة 1.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل $A$ .

$1 = A - x A + B x$

خطوة 1.1.7.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$1 = A - x A + B x$

خطوة 1.1.7.3

انقُل $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = - 1 A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = - 1 A + B$ بـ $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = - 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

خطوة 1.3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 1 A = 1$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = 1, A = 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

خطوة 1.5

احذِف الصفر من العبارة.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 1 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

خطوة 9

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$