حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $x$ من $x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

خطوة 2

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot 1 + x (- x)$

خطوة 2.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x + x (- x)$

خطوة 2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x - x \cdot x$

خطوة 2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

انقُل $x$ .

$x - (x \cdot x)$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x - x^{2}$

خطوة 2.1.5

أعِد ترتيب $x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

خطوة 2.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

خطوة 2.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

خطوة 2.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $- - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

خطوة 2.5.2.1.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

خطوة 2.5.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

خطوة 2.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x - \frac{1}{2}$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x - \frac{1}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

خطوة 4

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

خطوة 5

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

خطوة 6

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

خطوة 10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (2 x - 1) + C$