حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{t^{2}}{{(t^{3} - 2)}^{5}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = t^{3} - 2$ . إذن $d u = 3 t^{2} d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = t^{3} - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $t^{3} - 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} - 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{3} - 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 t^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 t^{2}$ و $0$ .

$3 t^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{5}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 5} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

خطوة 6.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{1}{3 (4 u^{4})} + C$

خطوة 6.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$- \frac{1}{12 u^{4}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{3} - 2$ .

$- \frac{1}{12 {(t^{3} - 2)}^{4}} + C$