حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\cos^{2} (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} d x$

خطوة 1.3

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 1.4

حوّل من $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) d x$

خطوة 1.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

خطوة 2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{1} (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sec^{1} (x) \cdot - 1 + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 7

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 8

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{3} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (x)$ و $d v = \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

خطوة 10

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

خطوة 11

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

خطوة 12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $1$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

خطوة 13.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (x)$ و $\sec (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

خطوة 14

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 15

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 15.3

أعِد ترتيب $\sec (x)$ و $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

خطوة 16

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

خطوة 17

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

خطوة 18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

خطوة 19

أضف $1$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

خطوة 20

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

خطوة 21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

خطوة 22

أضف $2$ و $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

خطوة 23

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 24

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 25

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 26

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 26.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 27

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (x) d x$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

خطوة 28

اضرب $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ في $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

خطوة 29

بسّط.

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$