حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 2 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.8

اضرب الأُسس في ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.9

أعِد كتابة $64 \cos^{6} (t)$ بالصيغة ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2 \cos (t)$ من $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.5

حوّل من $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ إلى $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

خطوة 8

بسّط.

$- t + \tan (t) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$