حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

خطوة 2

أعِد ترتيب $1$ و $- y^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

خطوة 3

اقسِم $- y^{2} + 1$ على $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

خطوة 3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

خطوة 3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

خطوة 3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y^{2} + 0$

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

خطوة 3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 3.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

خطوة 8.2

بسّط.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$