حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x + 7}{{(6 x^{2} + 21 x)}^{4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 6 x^{2} + 21 x$ . إذن $d u = (12 x + 21) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = (4 x + 7) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 6 x^{2} + 21 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x^{2} + 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 21 x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 21 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [21 x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [21 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $21 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $21 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 21 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x + 21 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $21$ في $1$ .

$12 x + 21$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 3} d u$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{3 u^{4}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 4} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

خطوة 6.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{3 (3 u^{3})} + C$

خطوة 6.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{1}{9 u^{3}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x^{2} + 21 x$ .

$- \frac{1}{9 {(6 x^{2} + 21 x)}^{3}} + C$