حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 5 x$ . إذن $d u_{1} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\sec^{4} (u_{1})$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

خطوة 12.4

اجمع.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 12.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اضرب $\tan^{3} (5 x)$ في $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 12.5.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$