حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\tan (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

خطوة 5

وسّع ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

خطوة 5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

خطوة 5.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب $u^{2}$ و $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.10

اضرب $u^{6}$ في $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.11

أخرِج السالب.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.13

أضف $2$ و $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.14

أخرِج السالب.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.16

أضف $2$ و $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

خطوة 5.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

خطوة 5.18

أضف $2$ و $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

خطوة 5.19

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

خطوة 5.20

أضف $4$ و $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

خطوة 5.21

اطرح $u^{8}$ من $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

خطوة 5.22

أعِد ترتيب $- 2 u^{8}$ و $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

خطوة 5.23

انقُل $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{10}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

خطوة 8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{8}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$