حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

خطوة 1

اقسِم $t$ على $t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$t$

$1$

$t$

$0$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $t$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $t + 1$

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

خطوة 5

لنفترض أن $u = t + 1$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = t + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$t - \ln (| u |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 1$ .

$t - \ln (| t + 1 |) + C$