حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\cot^{3} (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

خطوة 4

طبّق قاعدة الاختزال.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

خطوة 5

تكامل $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

خطوة 6

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ بالصيغة $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\cot^{2} (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $\cot (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

خطوة 8.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| \sin (2 x) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5.2

اجمع.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5.3

اضرب $\cos^{2} (2 x)$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5.5

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.5.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.5.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6.2

اضرب في $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6.3

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6.4

حوّل من $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ إلى $\cot^{2} (2 x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6.5

اضرب $4$ في $1$ .

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 8.6.6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cot^{2} (2 x)$ .

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$