حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = - 3 x$ . إذن $d u_{1} = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

خطوة 2.3

اجمع $\sec (e^{u_{1}})$ و $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

خطوة 2.4

اجمع $\tan (e^{u_{1}})$ و $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = e^{u_{1}}$ . إذن $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = e^{u_{1}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6

بما أن مشتق $\sec (u_{2})$ هو $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ ، إذن تكامل $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ هو $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

خطوة 8

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

خطوة 8.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$