حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 7 x^{2} + 3$ . إذن $d u = 14 x d x$ ، لذا $\frac{1}{14} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 7 x^{2} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$14 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $14 x$ و $0$ .

$14 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{5}}$ في $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

خطوة 2.2

انقُل $14$ إلى يسار $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{14}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{14}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $d$ و $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

خطوة 4.1.2

اجمع $x$ و $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $u^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $u^{- 4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

خطوة 6.1.2

انقُل $u^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{14}$ و $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{x}{14}$ و $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

خطوة 6.3.3

اضرب $\frac{x d}{14}$ في $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

خطوة 6.3.4

اضرب $4$ في $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$