حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

خطوة 3.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

خطوة 4

اضرب $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $u^{5}$ في $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 5.2

اضرب $u^{5}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

خطوة 5.2.2

أضف $5$ و $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ و $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ في $\sqrt{3}$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{6}$ بالصيغة $3^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{8}$ بالصيغة $3^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.5.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.6

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.7

اجمع $\frac{1}{8}$ و $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.8

لكتابة $\frac{9}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.9.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.9.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.11.1

اضرب $9$ في $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.11.2

أضف $36$ و $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.13

اضرب $\frac{1}{6}$ في $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

خطوة 10.2.14

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

خطوة 10.2.15

اضرب $\frac{1}{8}$ في $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

خطوة 10.2.16

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

خطوة 10.2.17

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

خطوة 10.2.18

أضف $\frac{117}{8}$ و $0$ .

$\frac{117}{8}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{117}{8}$

الصيغة العشرية:

$14.625$

صيغة العدد الذي به كسر:

$14 \frac{5}{8}$