حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 5 x$ . إذن $d u_{1} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

خطوة 3

اجمع $\cos^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{5}$ و $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 12

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 14

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 16.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

خطوة 17.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

خطوة 17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.3.2

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

خطوة 17.5

اضرب $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1

اضرب $\frac{3}{10}$ في $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

خطوة 17.5.2

اضرب $10$ في $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$