حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 6 x^{5} \sin (x^{6}) d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int x^{5} \sin (x^{6}) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ بالصيغة ${u_{1}}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{6}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{3}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ و $\sin ({u_{1}}^{3})$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3})}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . إذن $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 7

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 9.3

اضرب $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ في $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 10

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{3}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{3}) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$- \cos ({(x^{2})}^{3}) + C$