حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \arccos (2 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arccos (2 x)$ و $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 4.2

اضرب $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ في $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . إذن $d u = - 8 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 6.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

خطوة 6.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$0 - 8 x$

خطوة 6.1.4

اطرح $8 x$ من $0$ .

$- 8 x$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

خطوة 7.3

انقُل $8$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 11.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 11.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 11.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 11.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 11.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

خطوة 13.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$