حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 3 y$ . إذن $d u_{1} = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 3 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

خطوة 3

اجمع $\sin (u_{1})$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

خطوة 5

تكامل $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = 5 y$ . إذن $d u_{2} = 5 d y$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = 5 y$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

خطوة 6.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 7

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 9

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$