حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (2 x)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

خطوة 9

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

خطوة 10.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

خطوة 10.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

خطوة 10.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

خطوة 10.3.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) + C$

خطوة 10.3.4

لكتابة $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

خطوة 10.3.5

اجمع $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

خطوة 10.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

خطوة 10.3.7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

خطوة 12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

خطوة 12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

خطوة 12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\cos (2 x)}{8}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - 4 \frac{- \cos (2 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 12.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 12.3.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

خطوة 12.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

خطوة 12.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - \frac{- \cos (2 x)}{2}}{4} + C$

خطوة 12.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

خطوة 12.4.2

اضرب $- - \frac{\cos (2 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 1 \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

خطوة 12.4.2.2

اضرب $\frac{\cos (2 x)}{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} (x \sin (2 x) - x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$