حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 8 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 8 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 8 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $8$ و $0$ .

$u_{lower} = 8$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt{19}}^{2}$ بالصيغة $19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{19}$ في صورة $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.5.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

خطوة 2.5.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = 8 + 19$

خطوة 2.5.2

أضف $8$ و $19$ .

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ في $27$ وفي $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.6

اضرب $3$ في $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.7

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

خطوة 7.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

خطوة 7.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 7.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

خطوة 7.2.11

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

خطوة 7.2.12

اجمع $- 16$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

خطوة 7.2.13

اضرب $- 16$ في $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

خطوة 7.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $- 48$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.1

أخرِج العامل $4$ من $- 48$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

خطوة 7.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

خطوة 7.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

خطوة 7.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

خطوة 7.2.14.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

خطوة 7.2.15

لكتابة $- 12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

خطوة 7.2.16

اجمع $- 12$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

خطوة 7.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.18.1

اضرب $- 12$ في $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

خطوة 7.2.18.2

اطرح $48$ من $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

خطوة 7.2.19

اضرب $\frac{7}{2}$ في $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.2.20

اضرب $7$ في $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.2.21

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1365}{8}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1365}{8}$

الصيغة العشرية:

$170.625$

صيغة العدد الذي به كسر:

$170 \frac{5}{8}$

خطوة 9