حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{π}$ في صورة $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

خطوة 1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

خطوة 1.5.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

خطوة 1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 1.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.5.5

أعِد كتابة $π^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 4.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة ${\sqrt{π}}^{2}$ بالصيغة $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{π}$ في صورة $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

خطوة 4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

خطوة 4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π^{1}$

خطوة 4.5.5

بسّط.

$u_{upper} = π$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

خطوة 9

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

خطوة 10.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

خطوة 10.3

أضف $\sin (π)$ و $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sin (0)}{4}$

خطوة 11.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{4}$

خطوة 11.2

اقسِم $0$ على $4$ .

$0$