حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ بالصيغة $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

خطوة 1.1.2.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.1.2.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

خطوة 1.1.2.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

خطوة 1.3.4

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

خطوة 1.3.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

خطوة 1.5.3

اطرح $2$ من $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

خطوة 1.5.4

أضف $- 1$ و $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

خطوة 1.5.5

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} u d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $0$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 0.5$

خطوة 5