حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

خطوة 3.2

اضرب $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ في $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

خطوة 4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $x (- e^{- x})$ في $1$ وفي $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 1$ وفي $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.6

اضرب $0$ في $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.7

أضف $- e^{- 1}$ و $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 7.3.8

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

خطوة 7.3.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

خطوة 8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

خطوة 8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

خطوة 8.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

خطوة 8.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{2}{e}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$1 - \frac{2}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.26424111 \dots$

خطوة 10