حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x^{2} + 1)$ و $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\ln (x^{2} + 1) x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\arctan (x)$ في $1$ وفي $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.2

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.3

اضرب $\ln (2)$ في $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.5

أضف $0$ و $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.6

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.7

اضرب $0$ في $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.8

أضف $\ln (2)$ و $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 11.4.9

أضف $1$ و $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

خطوة 12.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

خطوة 12.1.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

خطوة 12.1.2

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

خطوة 12.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

خطوة 12.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

خطوة 12.4.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

خطوة 12.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

خطوة 12.5.2

اضرب $- - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

خطوة 12.5.2.2

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.26394350 \dots$