حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \arcsin (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arcsin (x)$ و $d v = 1$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 2

اجمع $x$ و $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 3.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 - 0$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6.2

اضرب $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ في $1$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 8

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 8.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 8.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 8.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (x) x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\arcsin (x) x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $0$ وفي $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $\arcsin (1)$ في $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.3

اضرب $0$ في $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.4

أضف $\arcsin (1)$ و $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.5

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.6

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.8

احسِب قيمة الأُس.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.9

اضرب $2$ في $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

خطوة 10.3.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

خطوة 10.3.12

اطرح $2$ من $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

خطوة 10.3.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

خطوة 10.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.14.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

خطوة 10.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 10.3.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 10.3.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

خطوة 10.3.14.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

خطوة 11

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{2} - 1$

الصيغة العشرية:

$0.57079632 \dots$