حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} 6 x^{5} e^{x^{6}} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{1} x^{5} e^{x^{6}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

خطوة 2.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ بالصيغة ${u_{1}}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ و $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . إذن $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

خطوة 6.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

خطوة 6.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$3 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 7

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9.3

اضرب $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $e^{u_{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط.

$e - e^{0}$

خطوة 11.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

خطوة 11.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e - 1$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e - 1$

الصيغة العشرية:

$1.71828182 \dots$

خطوة 13