حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x + 1$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $3$ في $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $15$ و $1$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $16$ وفي $1$ .

$\frac{1}{3} ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1)$

خطوة 6.2.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2)$

خطوة 6.2.8

اطرح $2$ من $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot 6$

خطوة 6.2.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $6$ .

$\frac{6}{3}$

خطوة 6.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

خطوة 6.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

خطوة 6.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1}$

خطوة 6.2.10.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 7