حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \frac{1}{2 + t} d t d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 + t$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 + t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + t$ .

$\frac{d}{d t} [2 + t]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 + t$ .

$u_{lower} = 2 + 0$

خطوة 1.3

أضف $2$ و $0$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 + t$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

خطوة 1.5

أضف $2$ و $4$ .

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{6} d t$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $6$ وفي $2$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 2 |)) d t$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 2 |}) d t$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $6$ تساوي $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 2 |}) d t$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{6}{2}) d t$

خطوة 5.3

اقسِم $6$ على $2$ .

$\ln (3) d t$

خطوة 6