حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

خطوة 2

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - t$ . إذن $d u = - d t$ ، لذا $- d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

خطوة 4.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$u_{upper} = - 3$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

خطوة 6.2

اضرب $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ في $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $e^{t}$ في $3$ وفي $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 3$ وفي $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

خطوة 8.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

خطوة 8.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

خطوة 8.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

خطوة 8.3.5

اطرح $1$ من $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

الصيغة العشرية:

$18.13532399 \dots$

خطوة 10