حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{t}{4}$ . إذن $d u = \frac{1}{4} d t$ ، لذا $4 d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{t}{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

خطوة 2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

خطوة 2.3

انقُل $4$ إلى يسار $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

خطوة 4

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

خطوة 5

احسِب قيمة $\tan (u)$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$4 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$4 (1 - 0)$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$4 (1 + 0)$

خطوة 6.4

أضف $1$ و $0$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 6.5

اضرب $4$ في $1$ .

$4$