حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 6.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 6.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $x$ في $π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

خطوة 10.3

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

خطوة 11.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

خطوة 11.3

أضف $\sin (2 π)$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

خطوة 11.4

اجمع $\sin (2 π)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

خطوة 12.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

خطوة 12.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{1}{2} (π - 0)$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

خطوة 12.4

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{1}{2} π$

خطوة 12.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $π$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.57079632 \dots$